L'alg�bre

Le mot alg�bre vient du titre d'un livre, al-jabr wa'l muqabalah, �crit par al-Khwarizmi, vers 830.L'alg�bre est la branche des math�matiques qui �tudie les structures alg�briques, ind�pendamment de la notion de limite (rattach�e � l'analyse) et de la notion de repr�sentation graphique (rattach�e � la g�om�trie).

L'alg�bre traite des donn�es comme en arithm�tique, mais sur un plan plus g�n�ral

En arithm�tique, on utilise des nombres
En alg�bre, on utilise des symboles
Les symboles utilis�s sont des lettres
Certains usages sont � respecter

• x, y, z sont des inconnues
• a, b, c sont des coefficients sens�s �tre d�finis
• k, h sont des coefficients multiplicatifs
• n, m sont utilis�s pour les puissances

Une lettre conserve la m�me valeur tout au long du m�me travail

L’alg�bre lin�aire

C'est la branche des math�matiques qui s'int�resse � l'�tude des espaces vectoriels (ou espaces lin�aires), de leurs �l�ments les vecteurs, des transformations lin�aires et des syst�mes d'�quations lin�aires (th�orie des matrices).

les vecteurs

En math�matiques, le vecteur est un objet v�hiculant plus d'information que les nombres usuels, ou scalaires, et sur lequel on peut effectuer des op�rations simples.

� l’origine, un vecteur est un objet de la g�om�trie euclidienne. � deux points, Euclide faisait seulement correspondre leur distance. Or un couple de points porte une charge d'information bien plus grande. Ils d�finissent aussi une direction et un sens. Le vecteur synth�tise l'ensemble de ces informations.

La notion de vecteur peut �tre d�finie en dimension 2 (vecteur du plan), 3 (vecteur de l'espace euclidien usuel). Elle se g�n�ralise � des espaces de dimension n, ou � des espaces de dimension infinie. C'est sur cette notion, devenue abstraite et introduite par un syst�me d'axiomes, que se fonde la branche des math�matiques appel�e alg�bre lin�aire.

La g�om�trie euclidienne

La g�om�trie euclidienne commence avec les �l�ments d'Euclide, qui est � la fois une somme des connaissances g�om�triques de l'�poque et une tentative de formalisation math�matique de ces connaissances. Les notions de droite, de plan, de longueur, d'aire y sont expos�es de fa�on axiomatis�e. La conception de la g�om�trie est alors intimement li�e � la vision de l'espace physique ambiant au sens classique du terme.

Les conceptions g�om�triques subissent, � partir des travaux d'Euclide, des �volutions suivant trois axes principaux :

• Pour v�rifier les crit�res de rigueur logique actuels, la d�finition axiomatique subit de profonds changements, l'objet math�matique reste n�anmoins le m�me.
• Pour ne plus se limiter aux dimensions deux et trois et pour permettre l'�laboration d'une th�orie plus puissante, un mod�le alg�brique de la g�om�trie est envisag�. L'espace euclidien est maintenant d�fini comme un espace vectoriel ou affine r�el de dimension finie muni d'un produit scalaire.
• Enfin, la structure g�om�trique euclidienne n'est plus la seule envisageable ; il est maintenant �tabli qu'il existe d'autres g�om�tries coh�rentes.�

Plus de 2 000 ans apr�s sa naissance, l'espace g�om�trique euclidien est un outil toujours efficace aux vastes domaines d'applications. Par exemple, l'espace des physiciens reste encore principalement du domaine de la g�om�trie euclidienne, l'astronomie �tant l'exception la plus notoire.

A la crois�e des chemins et des civilisations, le monde arabe a h�rit� des avanc�es r�alis�es par les civilisations anciennes, et a cr��e une nouvelle discipline, l'alg�bre, en d�veloppant des pratiques existantes. Les math�matiques, l'histoire des sciences

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Le trait� d'al-Khwarizmi, savant du monde arabe dans la premi�re moiti� du VIII�me si�cle, marque la naissance de l'alg�bre en tant que discipline au sein des math�matiques. Le mot � alg�bre � vient d'ailleurs d'un des termes arabes du titre de cet ouvrage � al jabr �. Dans la p�riode pr�-islamique, les grecs avaient entam� la th�orisation des m�thodes de calculs. Il existait en outre des m�thodes de calcul utilis�es pour les �changes commerciaux, la r�partition des h�ritages et l'arpentage. Cependant de nouveaux besoins li�s � l'expansion de l'Islam se sont rapidement fait sentir pour la d�termination des heures de pri�re et l'�laboration de calendriers : il n�cessitaient des calculs plus complexes et ont favoris� la naissance de l'alg�bre.
Le g�nie d'al-Khwarizmi a �t� de r�unir dans un m�me ouvrage toutes les connaissances �parses, le double h�ritage des grecs anciens � l'occident et de l'Inde en orient, et d'y apporter une unit� en cr�ant une discipline nouvelle. Ainsi les traductions des ouvrages grecs ont apport� les m�thodes de calculs et de r�solution d'�quations, alors que la num�ration indienne pr�sentait des avantages ind�niables pour la facilit� et la rapidit� de manipulation des chiffres.
Par exemple, le chiffre "neuf millions neuf cent quatre vingt dix neuf mille neuf cent quatre vingt dix neuf" n�cessite 67 caract�res en hi�roglyphes, alors qu'il 7 en chiffres dits arabes. On imagine donc la difficult� d'une simple addition ou pire d'une division avec les premiers !
L'expansion de l'empire arabe entre le 8�me et le 12�me si�cle a �t� de pair avec des �changes intenses entre scientifiques des diff�rentes r�gions de l'empire. Cela a permis une circulation des connaissances d'est en ouest et vice versa, avec une large diffusion de la science arabe.
C'est ainsi que les connaissances de la Gr�ce antique nous sont parvenues � travers le temps, gr�ce au Arabes. De m�me, les chiffres dits � arabes � que nous utilisons couramment, nous viennent en r�alit� de l'Inde, par l'interm�diaire des Arabes.

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Il est consid�r� comme un des plus grands math�maticiens de tous les temps et comme le fondateur des math�matiques arabes. On conna�t peu de choses sur sa vie mais ses �crits ont �t� traduits en latin et diffus�s en occident, et ont servi de base � la connaissance math�matique du jusqu'au 14�me si�cle. Il utilise et perfectionne le syst�me de num�ration indien, et la diffusion de ses travaux en occident fait qu'on lui doit le syst�me de num�ration d�cimal. Ses travaux auraient �t� inspir�s de ceux de l'indien Brahmagupta.
On lui doit �galement les mots Algorithme (de son nom) et Alg�bre (du mot al-jabr), dont il est � l'origine. Dans son ouvrage "Kit�b al-jabr wa al-muq�bala" (Livre sur la science de la transposition et de la r�duction), il r�sout de fa�on syst�matique les �quations de degr� 2. Dans le traitement des �quations tel qu'il le pr�sente,

• al-jabr (de jabara, r�duire) correspond � transformer une soustraction dans un membre en une addition dans l'autre membre�
• al-muqabala (face � face) revient � supprimer dans les deux membres l'addition d'un m�me nombre, �quilibrer les valeurs positives restantes.

Il fait allusion aux nombres n�gatifs mais ne les accepte pas comme solution. S'�loignant de l'arithm�tique o� la solution est obtenue par diff�rentes m�thodes num�riques (r�gles de la fausse position ou de la double fausse position), Al-Khwarizmi nomme cette quantit� inconnue et la traiter dans les op�rations comme si elle �tait connue, strat�gie tout � fait nouvelle : l'alg�bre.
Ses travaux seront poursuivis et d�velopp�s par ses successeurs (Abul Kamil, Al-Karagi, Al-Samaw'al, Al-Khayyam, ...)

Astronome de Bagdad, il fait traduire les textes grecs dont l'Almageste de Ptol�m�e et il �tudie �galement l'astronomie et �tablit notamment des tables astronomiques indiquant les futures positions des astres.

Un signe pour �criture

Les plus anciens signes d'�criture ont �t� retrouv�s essentiellement � Uruk (actuelle Warka, en Irak), ancienne capitale du pays de Sumer ; on les a dat�s d'environ 3300 avant J.-C. L'apparition de l'�criture co�ncide avec l'essor des villes, dans des soci�t�s en mutation, o� viennent de p�n�trer l'invention de la roue et la technique du cuivre moul� et qui poss�dent d�j� tout un r�pertoire de signes et de symboles dans leurs arts plastiques.

Il y a plus de cinq mille ans, coexistaient de part et d'autre du Tigre deux pays

• Sumer, entre le Tigre et l'Euphrate et
• �lam, � l'est du Tigre, dont la capitale �tait Suse (en Iran aujourd'hui).

Organis�es sous l'autorit� d'un souverain, les populations �taient urbanis�es et compos�es d'administrateurs, de marchands, d'artisans, de paysans et de bergers, qui pratiquaient tout type d'�changes, administratifs ou commerciaux.
L'�criture est n�e surtout de la n�cessit� ressentie par ces hommes de conserver la trace de leurs �changes. Ce sont les Sum�riens qui finalisent le syst�me, les �lamites n'allant pas au-del� de leurs propres pictogrammes et empruntant plus tard le mod�le sum�rien pour noter leur langue.

Des calculi � l'�criture cun�iforme

l'homme a su compter avant de savoir �crire Pour enregistrer leurs op�rations comptables, �lamites et Sum�riens utilisent un syst�me de jetons model�s dans l'argile (calculi), de taille et de forme diff�rentes selon la valeur convenue, portant parfois des indications de nombre sous forme de traits incis�s. Ces jetons sont gliss�s dans une sph�re creuse en argile fa�onn�e au pr�alable autour du pouce, sur laquelle est appos� un sceau cylindrique identifiant le propri�taire. Ainsi, par exemple, si la bulle de terre contient le d�nombrement d'un troupeau confi� � un berger, lorsque celui-ci le ram�nera il suffira de briser la bulle pour v�rifier qu'aucune b�te ne manque.

Vers 3300 avant J.-C., on appose sur la sph�re, � c�t� du sceau, un r�sum� de son contenu : on n'est plus oblig� de la casser au moment du contr�le. Les jetons num�riques deviennent alors inutiles, les sph�res s'aplatissent, se transforment en tablettes et les premiers chiffres apparaissent : ce ne sont encore que des encoches plus ou moins fines, plus ou moins grandes selon la valeur attribu�e, des empreintes en forme de c�ne ou de cercle. Une v�ritable �criture appara�t alors qui continue � se perfectionner sans cesse, transcrivant au plus pr�s la langue sum�rienne ; puis elle s'adapte � des langues �trang�res :

• s�mitiques comme l'akkadien,
• indo-europ�ennes comme le hittite,
• caucasiennes comme le hourrite.

Simples dessins repr�sentant sch�matiquement les marchandises ou objets de la transaction les premiers pictogrammes ont qu'une fonction de � signe-image �.Ces pictogrammes sont associ�s les uns aux autres pour exprimer une action ou une id�e, par exemple l'association de celui de l'oiseau et de celui de l'œuf pour �crire � f�condit� � : c'est un id�ogramme ou � signe-id�e �.

oiseau + œuf = f�condit�


Vers 3000 avant J.-C., des pictogrammes ou des id�ogrammes sont �galement utilis�s pour leur valeur phon�tique, un signe correspondant � une syllabe ou � signe-son �.; l'�criture est ainsi, en quelque sorte, mise en conformit� avec la langue. Les signes vont basculer de quatre-vingt-dix degr�s vers la gauche et le graphisme change : les lignes courbes, difficiles � tracer sur l'argile molle, sont d�compos�es en lignes droites que le scribe ne grave plus, mais imprime � l'aide d'un calame, tige de roseau � bout triangulaire, laissant des empreintes en forme de coins : c'est la graphie cun�iforme (du latin cuneus: coin, clou), n�e � Sumer.

Ainsi se perfectionnant sans cesse, l'�criture transcrit au plus pr�s la langue sum�rienne : en �voluant du � signe-image � au � signe-son � et en devenant cun�iforme, l'�criture passe de la notation aide-m�moire � l'enregistrement de contrats, de documents �conomiques, administratifs, religieux, voire m�me de textes litt�raires et po�tiques, telle la fameuse �pop�e de Gilgamesh.
D�s lors, � partir de la M�sopotamie, le cun�iforme se r�pandra, d�s le IIe mill�naire, dans tout le Proche-Orient :

• du golfe arabo-persique � la M�diterran�e,
• de l'Iran au Caucase,
• jusqu'� l'Asie Mineure et la Palestine.

Le syst�me cun�iforme, sous l'emprise de scribes de plus en plus savants, se complique et s'alourdit. Il commence alors � r�gresser, tandis qu'apparaissent, ici et l�, d'autres fa�ons d'�crire.

En un rien de temps, � l'�chelle de l'Histoire, le monde arabe parvint � associer � sa culture traditionnelle un savoir moderne d'une ampleur consid�rable. Durant sept si�cles, dur�e � peine moins longue que celle qui s�pare Tha�es de M�n�laos, ce fut dans cette r�gion du monde que les sciences prosp�r�rent. Alexandrie avait eu ses Ptol�m�es, Bagdad eut ses califes amoureux des arts et des sciences.

Al-Ma'mun. Un calife rationaliste ! Adepte passionn� d'Aristote, qui ha�ssait les int�gristes qu'il pourchassa tout au long de son r�gne. Ayant remport� une victoire sur les arm�es byzantines, Al-Ma'mun proposa un �tonnant �change � l'empereur d'Orient : les prisonniers contre des livres ! Le march� fut conclu : un millier de guerriers chr�tiens lib�r�s par les Arabes regagn�rent Constantinople tandis qu'en sens inverse une dizaine d'ouvrages rarissimes, fleuron des biblioth�ques byzantines, arrivaient � Bagdad.

�Parmi les ouvrages, il en �tait un qui allait avoir une importance capitale pour les savants arabes, le Siddhantha, un trait� d'astronomie avec ses tables, �crit un si�cle plus t�t par un math�maticien indien, Brahmagupta*. Imm�diatement traduit en arabe, il sera c�l�bre sous le nom de Sindhind. Dans ses pages, un tr�sor. Dix petites figures ! Il s'agit des dix chiffres avec lesquels nous calculons ! un, deux, trois... jusqu'� neuf. Sans oublier le dernier, le z�ro�."Eka, dva, tri, catur, panca, sat, sapta, asta, nava".
Le z�ro est repr�sent� par un petit rond. Pourquoi un rond ? On ne le sait pas vraiment. Par contre, on sait que, traduit en arabe, �unya devient sifr qui, traduit en latin, devint z�phirum qui, traduit en italien, donna z�phiro. Et de z�phiro � z�ro, il n'y a pas loin. Et le nom du z�ro, sifr, devint celui de tous les chiffres. Le z�ro, "ce rien qui peut tout"

Pratiquement tous les peuples ont poss�d� une num�ration, c'est-�-dire une fa�on d'inscrire les nombres. Certaines tr�s efficaces, d'autres poussives comme la num�ration romaine, par exemple. Dans la plupart d'entre elles, la valeur d'un chiffre est ind�pendante de la position qu'il occupe dans l'�criture du nombre : le � X � de la num�ration romaine vaut � dix � o� qu'il se trouve. Ainsi, � XXX �, c'est � trente �, dix plus dix plus dix.

Pour la num�ration de position, c'est tout le contraire, la valeur d'un chiffre d�pend de la position qu'il occupe dans l'�criture du nombre. En un mot, la place � compte ��1 vaut un, dix ou cent suivant qu'il occupe la derni�re, l'avant-derni�re, ou l'avant-avant-derni�re place. Et le 1 de 1 000 vaut plus que les trois neuf de 999 ! La num�ration indienne accomplit un v�ritable prodige, plus admirable encore que celui de l'alphabet. Avec une poign�e de signes (exactement autant que de doigts de nos deux mains), elle permet de repr�senter TOUS LES NOMBRES DU MONDE ! Voil� ce qu'ont invent� les Indiens.
C'est dire leur avance en ce domaine sur toutes les autres civilisations. Aujourd'hui, tout le monde utilise ces chiffres. S'il y a une invention qui a eu une destin�e universelle, c'est bien celle-l�.

Lorsque ces chiffres sont arriv�s � Bagdad, les Arabes les ont appel�s les figures indiennes. Un math�maticien, membre de la Maison de la Sagesse, a r�dig� un trait� pour les faire conna�tre et pour d�crire la fa�on de les utiliser. C'est par lui que les Arabes ont connu les chiffres indiens. Plusieurs si�cles plus tard, le livre a �t� traduit en latin. Ce fut l'un des plus grands best-sellers de la fin du Moyen Age !
C'est par cet ouvrage qu'en France, en Italie, en Allemagne, on les a d�couverts. Et puis ils se sont r�pandus dans tout l'Occident. Et comme c'est par l'entremise des Arabes que les chr�tiens les ont connus, ils les ont nomm�s � chiffres arabes �.

*Brahmagupta est sans doute l'un des math�maticiens indous les plus connus.

N� dans le nord-ouest de l'Inde, il passe la plupart de sa vie dans la ville de Bhillamala (actuellement Bhinmal, au Rajasthan). Il dirige l'observatoire astronomique d'Ujjain, grand centre de recherche en math�matiques au VIIe si�cle.

Ses deux ouvrages d'astronomie les plus c�l�bres sont le Brahma-sphuta-siddhanta (628), un livre dont deux chapitres sont consacr�s � l'alg�bre et � l'arithm�tique, et Khandakhadyaka (665). Dans le chapitre 18 du Brahma-sphuta-siddhanta, le savant traite des diff�rentes op�rations avec le z�ro qu'il d�finit comme le r�sultat de la soustraction d'un nombre par lui-m�me, des nombres irrationnels, des �quations quadratiques, des �quations � plusieurs inconnues et des solutions partielles d'�quations du second degr� � deux inconnues. L'ouvrage atteindra Bagdad gr�ce � al-Fazari qui le traduit en arabe vers 771 sous le titre de Al-Zij al-Sindhind al-kabir. L'introduction de ces nouveaux concepts math�matiques aura une grande r�percussion sur la science dans le monde musulman des VIIIe et IXe si�cles.

Brahmagupta s'attaque �galement � la d�termination du volume d'un prisme et l'aire d'un quadrilat�re inscrit � l'int�rieur d'un cercle et la somme de s�ries de nombres. En astronomie, il �tudie les �clipses solaires et lunaires, les positions des plan�tes et estime la dur�e d'une ann�e � 365 jours, 6 heures 5 minutes et 19 secondes.